数列 $\{a_n\}$ があり、初項 $a_1 = 1$ であり、漸化式 $a_{n+1} = \frac{4-a_n}{3-a_n}$ を満たす。 (1) $a_2$, $a_3$, $a_4$ を求め、一般項 $a_n$ を推測する。 (2) (1) で推測した一般項が正しいことを証明する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、初項 $a_1 = 1$ であり、漸化式 $a_{n+1} = \frac{4-a_n}{3-a_n}$ を満たす。

(1) $a_2$, $a_3$, $a_4$ を求め、一般項 $a_n$ を推測する。

(2) (1) で推測した一般項が正しいことを証明する。

2. 解き方の手順

(1)

$a_1 = 1$ から、漸化式を用いて $a_2, a_3, a_4$ を計算する。

$a_2 = \frac{4 - a_1}{3 - a_1} = \frac{4 - 1}{3 - 1} = \frac{3}{2}$

$a_3 = \frac{4 - a_2}{3 - a_2} = \frac{4 - \frac{3}{2}}{3 - \frac{3}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{5}{3}$

$a_4 = \frac{4 - a_3}{3 - a_3} = \frac{4 - \frac{5}{3}}{3 - \frac{5}{3}} = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{7}{4}$

$a_1 = \frac{1}{1}, a_2 = \frac{3}{2}, a_3 = \frac{5}{3}, a_4 = \frac{7}{4}$ より、一般項は $a_n = \frac{2n-1}{n}$ と推測できる。

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = \frac{3}{2}$, $a_3 = \frac{5}{3}$, $a_4 = \frac{7}{4}$

一般項は $a_n = \frac{2n-1}{n}$ と推測できる。