「$(x, y) = (a, b)$であること」と「$x = a$ かつ $y = b$が同時に成り立つこと」が同値であることを示す。

1. 問題の内容

「$(x, y) = (a, b)$であること」と「$x = a$ かつ $y = b$が同時に成り立つこと」が同値であることを示す。

2. 解き方の手順

同値であることを示すには、以下の2つの方向を示す必要があります。

(1) $(x, y) = (a, b)$ならば、$x = a$ かつ $y = b$であること。

(2) $x = a$ かつ $y = b$ならば、$(x, y) = (a, b)$であること。

(1)について:

$(x, y) = (a, b)$ が成り立つと仮定します。

組の相等性の定義より、2つの組が等しいということは、それぞれの成分が等しいということです。

したがって、$x = a$ かつ $y = b$ が成り立ちます。

(2)について:

$x = a$ かつ $y = b$ が成り立つと仮定します。

組 $(x, y)$ と組 $(a, b)$ のそれぞれの成分が等しいので、組の相等性の定義より、$(x, y) = (a, b)$ が成り立ちます。

以上の(1)(2)より、$(x, y) = (a, b)$であることと、$x = a$ かつ $y = b$であることは同値であると言えます。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (a, b)$であることと、$x = a$ かつ $y = b$であることは同値である。