長方形ABCDがあり、$AB = 6, AD = 12$です。点Pは辺ABの中点Mを毎秒3の速さでAを経てDに向かい、点Qは点Pと同時にMを出発して毎秒3の速さでBを経て辺BCの中点Nに向かいます。点QはNに着いた後は動かないとします。辺CDの中点をOとしたとき、出発してから$x$秒後の$\triangle OPQ$の面積$y$を$x$の式で表し、そのグラフを答えます。ただし、$3 < x \le 4$とします。

幾何学面積座標三角形グラフ動点
2025/7/2

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB=6,AD=12AB = 6, AD = 12です。点Pは辺ABの中点Mを毎秒3の速さでAを経てDに向かい、点Qは点Pと同時にMを出発して毎秒3の速さでBを経て辺BCの中点Nに向かいます。点QはNに着いた後は動かないとします。辺CDの中点をOとしたとき、出発してからxx秒後のOPQ\triangle OPQの面積yyxxの式で表し、そのグラフを答えます。ただし、3<x43 < x \le 4とします。

2. 解き方の手順

まず、点Qが点Nに到着するまでの時間を計算します。MB = 3, BC = 12なので、点Qが移動する距離は3+12=153 + 12 = 15です。速さが毎秒3なので、かかる時間は15/3=515 / 3 = 5秒です。問題では、3<x43 < x \le 4の場合を考えるので、点Qは辺BC上に存在します。
次に、点Pの位置を考えます。点PはMから出発してAに向かいます。3秒後にAに到着します。3<x43 < x \le 4なので、点Pは辺AD上に存在します。
点PがAからAD上を移動した距離は3(x3)3(x-3)です。点Pの位置は、Aから3(x3)3(x-3)だけDに近い位置になります。点Pの座標を(0, 123(x3)12 - 3(x-3))とします。これは(0, 213x21 - 3x)となります。
点Qは、BからBC上を移動します。ただし、Qは3秒後にBに到着し、その後BC上を移動するので、点Qの位置は(6, 3(x3)3(x-3))となります。
点Oは辺CDの中点なので、Oの座標は(3, 12)です。
OPQ\triangle OPQの面積yyは、点O(3, 12), 点P(0, 213x21 - 3x), 点Q(6, 3(x3)3(x-3))を頂点とする三角形の面積です。
OPQ\triangle OPQの面積は、座標を使って次のように計算できます。
y=12(xO(yPyQ)+xP(yQyO)+xQ(yOyP))y = \frac{1}{2} |(x_O(y_P - y_Q) + x_P(y_Q - y_O) + x_Q(y_O - y_P))|
y=12(3(213x3(x3))+0(3(x3)12)+6(12(213x)))y = \frac{1}{2} |(3(21-3x - 3(x-3)) + 0(3(x-3) - 12) + 6(12 - (21-3x)))|
y=12(3(213x3x+9)+6(1221+3x))y = \frac{1}{2} |(3(21-3x - 3x + 9) + 6(12 - 21 + 3x))|
y=12(3(306x)+6(9+3x))y = \frac{1}{2} |(3(30-6x) + 6(-9+3x))|
y=12(9018x54+18x)y = \frac{1}{2} |(90 - 18x - 54 + 18x)|
y=1236=18y = \frac{1}{2} |36| = 18
よって、y=18y = 18です。

3. 最終的な答え

y=18y = 18 (3<x43 < x \le 4)
グラフは、3<x43 < x \le 4の範囲で、y=18y = 18の水平な直線です。

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