長方形ABCDがあり、$AB = 6, AD = 12$です。点Pは辺ABの中点Mを毎秒3の速さでAを経てDに向かい、点Qは点Pと同時にMを出発して毎秒3の速さでBを経て辺BCの中点Nに向かいます。点QはNに着いた後は動かないとします。辺CDの中点をOとしたとき、出発してから$x$秒後の$\triangle OPQ$の面積$y$を$x$の式で表し、そのグラフを答えます。ただし、$3 < x \le 4$とします。
2025/7/2
1. 問題の内容
長方形ABCDがあり、です。点Pは辺ABの中点Mを毎秒3の速さでAを経てDに向かい、点Qは点Pと同時にMを出発して毎秒3の速さでBを経て辺BCの中点Nに向かいます。点QはNに着いた後は動かないとします。辺CDの中点をOとしたとき、出発してから秒後のの面積をの式で表し、そのグラフを答えます。ただし、とします。
2. 解き方の手順
まず、点Qが点Nに到着するまでの時間を計算します。MB = 3, BC = 12なので、点Qが移動する距離はです。速さが毎秒3なので、かかる時間は秒です。問題では、の場合を考えるので、点Qは辺BC上に存在します。
次に、点Pの位置を考えます。点PはMから出発してAに向かいます。3秒後にAに到着します。なので、点Pは辺AD上に存在します。
点PがAからAD上を移動した距離はです。点Pの位置は、AからだけDに近い位置になります。点Pの座標を(0, )とします。これは(0, )となります。
点Qは、BからBC上を移動します。ただし、Qは3秒後にBに到着し、その後BC上を移動するので、点Qの位置は(6, )となります。
点Oは辺CDの中点なので、Oの座標は(3, 12)です。
の面積は、点O(3, 12), 点P(0, ), 点Q(6, )を頂点とする三角形の面積です。
の面積は、座標を使って次のように計算できます。
よって、です。
3. 最終的な答え
()
グラフは、の範囲で、の水平な直線です。