長さ40cmの線分AB上に、直径が線分AB上にあるように円を2つ重ならないように置く。2つの円の面積の合計が最小になるときの、その面積を求める問題です。ただし、円周率は$\pi$とします。

1. 問題の内容

長さ40cmの線分AB上に、直径が線分AB上にあるように円を2つ重ならないように置く。2つの円の面積の合計が最小になるときの、その面積を求める問題です。ただし、円周率は$\pi$とします。

2. 解き方の手順

2つの円の直径をそれぞれ$d_1$, $d_2$とします。

条件より、$d_1 + d_2 = 40$ が成り立ちます。

それぞれの円の半径は $r_1 = \frac{d_1}{2}$、$r_2 = \frac{d_2}{2}$ となります。

2つの円の面積の合計 $S$ は、

$S = \pi r_1^2 + \pi r_2^2 = \pi (\frac{d_1}{2})^2 + \pi (\frac{d_2}{2})^2 = \frac{\pi}{4}(d_1^2 + d_2^2)$

となります。

$d_2 = 40 - d_1$ を代入すると、

$S = \frac{\pi}{4}[d_1^2 + (40 - d_1)^2] = \frac{\pi}{4}[d_1^2 + 1600 - 80d_1 + d_1^2] = \frac{\pi}{4}[2d_1^2 - 80d_1 + 1600] = \frac{\pi}{2}[d_1^2 - 40d_1 + 800]$

$S$を最小にする$d_1$を求めるために、平方完成します。

$S = \frac{\pi}{2}[(d_1 - 20)^2 - 400 + 800] = \frac{\pi}{2}[(d_1 - 20)^2 + 400]$

$S$が最小となるのは、$(d_1 - 20)^2 = 0$、つまり、$d_1 = 20$ のときです。このとき、$d_2 = 40 - d_1 = 40 - 20 = 20$ となります。

したがって、2つの円の直径がともに20cmのとき、面積の合計が最小となります。

このとき、それぞれの円の半径は $r_1 = r_2 = \frac{20}{2} = 10$ cm となります。

最小面積は $S = \pi r_1^2 + \pi r_2^2 = \pi (10^2) + \pi (10^2) = 100\pi + 100\pi = 200\pi$ となります。

3. 最終的な答え

$200\pi \text{ cm}^2$