長方形ABCDにおいて、点PはAを出発してAB上を毎秒1cmで、点QはDを出発してDA上を毎秒2cmで移動する。 (1) PがAを出発してからx秒後のAQの長さを求める。 (2) 三角形APQの面積が8cm$^2$になるのは、PがAを出発してから何秒後かを求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、点PはAを出発してAB上を毎秒1cmで、点QはDを出発してDA上を毎秒2cmで移動する。

(1) PがAを出発してからx秒後のAQの長さを求める。

(2) 三角形APQの面積が8cm$^2$になるのは、PがAを出発してから何秒後かを求める。

2. 解き方の手順

(1)

点PはAを出発して毎秒1cmでAB上を移動するので、x秒後のAPの長さはx cm。

点QはDを出発して毎秒2cmでDA上を移動するので、x秒後のDQの長さは2x cm。

ADの長さは8cmなので、x秒後のAQの長さは $8 - 2x$ cmとなる。

(2)

三角形APQの面積は、$\frac{1}{2} \times AP \times AQ$で求められる。

AP = x cm, AQ = (8 - 2x) cmなので、三角形APQの面積は、

$\frac{1}{2} \times x \times (8 - 2x)$ cm$^2$となる。

三角形APQの面積が8cm$^2$になるので、以下の式が成り立つ。

$\frac{1}{2} x (8 - 2x) = 8$

$x(8 - 2x) = 16$

$8x - 2x^2 = 16$

$-2x^2 + 8x - 16 = 0$

$2x^2 - 8x + 16 = 0$

$x^2 - 4x + 8 = 0$

この二次方程式を解く。判別式Dは、

$D = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 8 = 16 - 32 = -16$

D < 0なので、実数解は存在しない。APQの面積が8cm$^2$になることはない。

問題文に誤りがある可能性を考慮し、APQの面積が6cm$^2$になる場合を検討する。

$\frac{1}{2} x (8 - 2x) = 6$

$x(8 - 2x) = 12$

$8x - 2x^2 = 12$

$-2x^2 + 8x - 12 = 0$

$2x^2 - 8x + 12 = 0$

$x^2 - 4x + 6 = 0$

解の公式より、$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-8}}{2} = 2 \pm i\sqrt{2}$

この場合も実数解は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) x秒後のAQの長さは、(8 - 2x) cm

(2) 三角形APQの面積が8cm$^2$になるのは、存在しない。