次の4つの和を求めます。 (1) $\sum_{k=1}^{15} 8k$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (10k+1)$ (3) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)$ (4) $\sum_{k=1}^{n} (-3)$

1. 問題の内容

次の4つの和を求めます。

(1) $\sum_{k=1}^{15} 8k$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (10k+1)$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)$

(4) $\sum_{k=1}^{n} (-3)$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{15} 8k$

定数項をシグマの外に出します。

$\sum_{k=1}^{15} 8k = 8 \sum_{k=1}^{15} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$の公式を利用します。

$8 \sum_{k=1}^{15} k = 8 \cdot \frac{15(15+1)}{2} = 8 \cdot \frac{15 \cdot 16}{2} = 8 \cdot 15 \cdot 8 = 64 \cdot 15 = 960$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (10k+1)$

シグマを分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (10k+1) = \sum_{k=1}^{n} 10k + \sum_{k=1}^{n} 1$

定数項をシグマの外に出します。

$= 10 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$と$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$の公式を利用します。

$= 10 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = 5n(n+1) + n = 5n^2 + 5n + n = 5n^2 + 6n$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k-1)$

シグマを分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k-1) = \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$と$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$の公式を利用します。

$= \frac{n(n+1)}{2} - n = \frac{n^2 + n - 2n}{2} = \frac{n^2 - n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$

(4) $\sum_{k=1}^{n} (-3)$

$\sum_{k=1}^{n} c = nc$の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} (-3) = -3 \sum_{k=1}^{n} 1 = -3n$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^{15} 8k = 960$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (10k+1) = 5n^2 + 6n$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k-1) = \frac{n(n-1)}{2}$

(4) $\sum_{k=1}^{n} (-3) = -3n$