2次関数 $y = -x^2 + 4x - 1$ のグラフと $x$ 軸の共有点の座標を求め、指定された形式 $(\text{エ} + \sqrt{\text{オ}}, 0), (\text{エ} - \sqrt{\text{オ}}, 0)$ で答えよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 4x - 1$ のグラフと $x$ 軸の共有点の座標を求め、指定された形式 $(\text{エ} + \sqrt{\text{オ}}, 0), (\text{エ} - \sqrt{\text{オ}}, 0)$ で答えよ。

2. 解き方の手順

$x$ 軸との共有点は、$y = 0$ となる $x$ の値を求めることで得られます。

したがって、以下の2次方程式を解きます。

$-x^2 + 4x - 1 = 0$

この式に $x^2$ の係数 -1 を掛けて、

$x^2 - 4x + 1 = 0$

解の公式を使います。一般的に、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解は、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

で与えられます。

この問題の場合、$a = 1$, $b = -4$, $c = 1$ なので、解の公式に代入すると、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

したがって、$x$ 軸との共有点の $x$ 座標は $2 + \sqrt{3}$ と $2 - \sqrt{3}$ です。

共有点の座標は $(2 + \sqrt{3}, 0)$ と $(2 - \sqrt{3}, 0)$ となります。

形式 $(\text{エ} + \sqrt{\text{オ}}, 0), (\text{エ} - \sqrt{\text{オ}}, 0)$ より、エ = 2, オ = 3 となります。

3. 最終的な答え

エ = 2

オ = 3