$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$1 + 3\sqrt{2}$ が無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ が無理数であることを用いて、$1 + 3\sqrt{2}$ が無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いる。つまり、$1 + 3\sqrt{2}$ が有理数であると仮定し、矛盾を導く。

$1 + 3\sqrt{2}$ が有理数であると仮定すると、ある有理数 $r$ を用いて

$$1 + 3\sqrt{2} = r$$

と表せる。この式を変形すると、

$$3\sqrt{2} = r - 1$$

$$\sqrt{2} = \frac{r - 1}{3}$$

ここで、$r$ は有理数なので、$r - 1$ も有理数であり、$\frac{r - 1}{3}$ も有理数である。

したがって、$\sqrt{2}$ が有理数であることになり、これは $\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾する。

よって、$1 + 3\sqrt{2}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

$1 + 3\sqrt{2}$ は無理数である。