$\triangle ABC$の辺$BC$, $CA$, $AB$を$3:4$に外分する点をそれぞれ$L$, $M$, $N$とするとき、等式$\vec{AL}+\vec{BM}+\vec{CN} = \vec{0}$が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$の辺$BC$, $CA$, $AB$を$3:4$に外分する点をそれぞれ$L$, $M$, $N$とするとき、等式$\vec{AL}+\vec{BM}+\vec{CN} = \vec{0}$が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

点$A$を始点とする位置ベクトルで表す。$\vec{AB}=\vec{b}$, $\vec{AC}=\vec{c}$とおく。

$L, M, N$はそれぞれ辺$BC, CA, AB$を$3:4$に外分する点なので、

$\vec{AL}=\frac{-4\vec{AB}+3\vec{AC}}{3-4}=\frac{-4\vec{b}+3\vec{c}}{-1}=4\vec{b}-3\vec{c}$

$\vec{BM}=\vec{AM}-\vec{AB}=\frac{-4\vec{AC}+3\vec{AA}}{3-4}-\vec{b}=\frac{-4\vec{c}}{-1}-\vec{b}=4\vec{c}-\vec{b}$

$\vec{CN}=\vec{AN}-\vec{AC}=\frac{-4\vec{AA}+3\vec{AB}}{3-4}-\vec{c}=\frac{3\vec{b}}{-1}-\vec{c}=-3\vec{b}-\vec{c}$

したがって、

$\vec{AL}+\vec{BM}+\vec{CN}=(4\vec{b}-3\vec{c})+(4\vec{c}-\vec{b})+(-3\vec{b}-\vec{c})=(4-1-3)\vec{b}+(-3+4-1)\vec{c}=0\vec{b}+0\vec{c}=\vec{0}$

よって、$\vec{AL}+\vec{BM}+\vec{CN} = \vec{0}$が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\vec{AL}+\vec{BM}+\vec{CN} = \vec{0}$