$7 - \sqrt{21}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$\frac{a}{b}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$7 - \sqrt{21}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$\frac{a}{b}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{21}$ の値を評価します。

$4^2 = 16$ であり、$5^2 = 25$ であることから、$4 < \sqrt{21} < 5$ であることが分かります。

より正確な評価をするために、$\sqrt{21}$に近い整数を見つけます。

$4.5^2 = 20.25$

$4.6^2 = 21.16$

よって、$4.5 < \sqrt{21} < 4.6$ であることが分かります。

したがって、$7 - \sqrt{21}$ は $7 - 4.6 < 7 - \sqrt{21} < 7 - 4.5$ 、つまり、$2.4 < 7 - \sqrt{21} < 2.5$ となります。

これより、$7 - \sqrt{21}$ の整数部分は2であることが分かります。

よって、$a = 2$ です。

小数部分 $b$ は、$7 - \sqrt{21}$ から整数部分 $a$ を引いたものなので、$b = (7 - \sqrt{21}) - 2 = 5 - \sqrt{21}$ となります。

$\frac{a}{b}$ の値を求めます。

$\frac{a}{b} = \frac{2}{5 - \sqrt{21}}$

分母を有理化します。

$\frac{2}{5 - \sqrt{21}} = \frac{2(5 + \sqrt{21})}{(5 - \sqrt{21})(5 + \sqrt{21})} = \frac{2(5 + \sqrt{21})}{25 - 21} = \frac{2(5 + \sqrt{21})}{4} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5 + \sqrt{21}}{2}$