3次方程式 $x^3 - (2a-1)x^2 - 2(a-1)x + 2 = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - (2a-1)x^2 - 2(a-1)x + 2 = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を因数分解することを試みます。$x=-1$ を代入すると、

$(-1)^3 - (2a-1)(-1)^2 - 2(a-1)(-1) + 2 = -1 - (2a-1) + 2(a-1) + 2 = -1 - 2a + 1 + 2a - 2 + 2 = 0$ となり、$x=-1$ は解の一つであることがわかります。したがって、$x+1$ を因数に持つことがわかります。

与式を $x+1$ で割ると、

$x^3 - (2a-1)x^2 - 2(a-1)x + 2 = (x+1)(x^2 - 2ax + 2) = 0$

となります。

したがって、与えられた3次方程式は、

$(x+1)(x^2 - 2ax + 2) = 0$

と変形できます。

異なる3つの実数解を持つためには、$x^2 - 2ax + 2 = 0$ が $x=-1$ 以外の異なる2つの実数解を持つ必要があります。

まず、$x=-1$ が $x^2 - 2ax + 2 = 0$ の解でないことを確認します。

$(-1)^2 - 2a(-1) + 2 = 1 + 2a + 2 = 2a + 3 \neq 0$ でなければならないので、$a \neq -\frac{3}{2}$ です。

次に、$x^2 - 2ax + 2 = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件を考えます。判別式を$D$とすると、

$D = (-2a)^2 - 4(1)(2) = 4a^2 - 8 > 0$

$a^2 > 2$

よって、$a < -\sqrt{2}$ または $a > \sqrt{2}$。

さらに、$a \neq -\frac{3}{2}$ である必要があるので、$a < -\frac{3}{2}$、$-\frac{3}{2} < a < -\sqrt{2}$ または $a > \sqrt{2}$。

したがって、$a < -\frac{3}{2}$、$-\frac{3}{2} < a < -\sqrt{2}$ または $a > \sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

$a < -\frac{3}{2}, -\frac{3}{2} < a < -\sqrt{2}, a > \sqrt{2}$