与えられた3次行列式をサラスの公式を用いて計算し、その過程の各項を求め、最終的な答えを求める問題です。行列式は $\begin{vmatrix} -2 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -2 \end{vmatrix}$ です。

代数学行列式サラスの公式線形代数
2025/7/3

1. 問題の内容

与えられた3次行列式をサラスの公式を用いて計算し、その過程の各項を求め、最終的な答えを求める問題です。行列式は
211211122\begin{vmatrix} -2 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -2 \end{vmatrix}
です。

2. 解き方の手順

サラスの公式を用いると、3次行列式は以下のように計算できます。
abcdefghi=aei+bfg+cdhcegafhbdi\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
この公式を今回の問題に適用します。
211211122=(2)(1)(2)+(1)(1)(1)+(1)(2)(2)(1)(1)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(2)\begin{vmatrix} -2 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = (-2)(1)(-2) + (-1)(-1)(-1) + (-1)(-2)(2) - (-1)(1)(-1) - (-2)(-1)(2) - (-1)(-2)(-2)
各項を計算します。
(2)(1)(2)=4(-2)(1)(-2) = 4
(1)(1)(1)=1(-1)(-1)(-1) = -1
(1)(2)(2)=4(-1)(-2)(2) = 4
(1)(1)(1)=1-(-1)(1)(-1) = -1
(2)(1)(2)=4-(-2)(-1)(2) = -4
(1)(2)(2)=4-(-1)(-2)(-2) = -4
したがって、
211211122=4+(1)+4+(1)+(4)+(4)=41+4144\begin{vmatrix} -2 & -1 & -1 \\ -2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 4 + (-1) + 4 + (-1) + (-4) + (-4) = 4 - 1 + 4 - 1 - 4 - 4
合計を計算します。
41+4144=(4+4)+(1144)=810=24 - 1 + 4 - 1 - 4 - 4 = (4+4) + (-1-1-4-4) = 8 - 10 = -2

3. 最終的な答え

与えられた行列式の値は-2です。
したがって、解答欄に埋めるべき値は以下のようになります。
4 + (-1) + 4 + (-1) + (-4) + (-4) = -2

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