3点 $(3, 6)$, $(-6, 9)$, $(k, \frac{16}{3})$ が一直線上にあるとき、$k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3点 $(3, 6)$, $(-6, 9)$, $(k, \frac{16}{3})$ が一直線上にあるとき、$k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

3点が一直線上にあるということは、任意の2点間の傾きが等しいということです。

まず、点 $(3, 6)$ と $(-6, 9)$ の傾きを求めます。

傾きは $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ で計算できます。

この2点の傾きは $\frac{9 - 6}{-6 - 3} = \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3}$ となります。

次に、点 $(3, 6)$ と $(k, \frac{16}{3})$ の傾きを求めます。

傾きは $\frac{\frac{16}{3} - 6}{k - 3} = \frac{\frac{16}{3} - \frac{18}{3}}{k - 3} = \frac{-\frac{2}{3}}{k - 3}$ となります。

この2つの傾きが等しいので、以下の方程式が成り立ちます。

$$-\frac{1}{3} = \frac{-\frac{2}{3}}{k - 3}$$

両辺に $-3$ を掛けると、

$$1 = \frac{2}{k - 3}$$

両辺に $k - 3$ を掛けると、

$$k - 3 = 2$$

したがって、$k = 5$ となります。

3. 最終的な答え

$k = 5$