平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを3:1に内分する点をE、対角線BDを4:1に内分する点をFとする。このとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを示す証明の空欄を埋める問題です。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \overrightarrow{AD} = \vec{d}$とします。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺CDを3:1に内分する点をE、対角線BDを4:1に内分する点をFとする。このとき、3点A, F, Eが一直線上にあることを示す証明の空欄を埋める問題です。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \overrightarrow{AD} = \vec{d}$とします。

2. 解き方の手順

まず、点Eが線分CDを3:1に内分するので、$\overrightarrow{AE}$を$\vec{b}$と$\vec{d}$を用いて表します。

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AD} + \frac{3}{4}\overrightarrow{DC} = \vec{d} + \frac{3}{4}\vec{b} = \frac{3}{4}\vec{b} + \vec{d} = \frac{3}{4}\vec{b} + \frac{4}{4}\vec{d} = \frac{3}{4}\vec{b} + \frac{4}{4}\vec{d}$

よって、$\overrightarrow{AE} = \frac{3}{4}\vec{b} + \vec{d} = \frac{3}{4}\vec{b} + \frac{4}{4}\vec{d}$.

よって、空欄1は$\frac{3}{4}$です。

次に、点Fは線分BDを4:1に内分するので、$\overrightarrow{AF}$を$\vec{b}$と$\vec{d}$を用いて表します。

$\overrightarrow{AF} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{AB} + 4 \cdot \overrightarrow{AD}}{4+1} = \frac{\vec{b} + 4\vec{d}}{5} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{4}{5}\vec{d}$

よって、空欄2は$\frac{\vec{b}+4\vec{d}}{5}$です。

最後に、$\overrightarrow{AF} = k \overrightarrow{AE}$となるようなkを見つけます。

$\overrightarrow{AE} = \frac{3}{4}\vec{b} + \vec{d}$

$\overrightarrow{AF} = \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{4}{5}\vec{d}$

$\overrightarrow{AF} = k \overrightarrow{AE}$より、$\frac{1}{5}\vec{b} + \frac{4}{5}\vec{d} = k(\frac{3}{4}\vec{b} + \vec{d}) = \frac{3k}{4}\vec{b} + k\vec{d}$

$\frac{1}{5} = \frac{3k}{4}$かつ$\frac{4}{5} = k$なので、$k = \frac{4}{5}$

したがって、$\overrightarrow{AF} = \frac{4}{5}\overrightarrow{AE}$.

よって、空欄3は$\frac{4}{5}$です。

3. 最終的な答え

1: $\frac{3}{4}$

2: $\frac{\vec{b}+4\vec{d}}{5}$

3: $\frac{4}{5}$