2点A(3, 4), B(-1, 2) を直径の両端とする円の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2点A(3, 4), B(-1, 2) を直径の両端とする円の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

円の中心は、直径の両端の中点なので、中心の座標を(x, y)とすると、

$x = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

したがって、円の中心は(1, 3)となる。

次に、半径を求める。半径は、中心から直径の両端までの距離なので、

半径をrとすると、

$r = \sqrt{(3-1)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

または、

$r = \sqrt{(-1-1)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

円の方程式は、中心(a, b)、半径rとすると、

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

今回の場合は、中心(1, 3)、半径$\sqrt{5}$なので、

$(x-1)^2 + (y-3)^2 = (\sqrt{5})^2$

$(x-1)^2 + (y-3)^2 = 5$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = 5$

$x^2 + y^2 - 2x - 6y + 10 = 5$

$x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0$

3. 最終的な答え

$(x-1)^2 + (y-3)^2 = 5$

または

$x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0$