図に示された点から3点を選んでできる三角形の総数を求める問題です。

1. 問題の内容

図に示された点から3点を選んでできる三角形の総数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、点の総数を数えます。図には15個の点があります。

次に、15個の点から3点を選ぶ組み合わせの総数を計算します。これは組み合わせの公式を使って計算できます。組み合わせの公式は以下の通りです。

$_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

ここで、$n$ は点の総数（15）、$r$ は三角形を作るために選ぶ点の数（3）です。

したがって、15個の点から3点を選ぶ組み合わせの総数は、

$_{15}C_{3} = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$

しかし、この中には一直線上に並んだ3点を選んでしまう場合が含まれます。そのような選び方では三角形ができません。一直線上に並んだ3点を選ぶ組み合わせを数え、全体の組み合わせから引く必要があります。

図には以下のような一直線上に並んだ点があります。

- 横方向に4本の直線があり、それぞれに3つまたは4つの点があります。

- 3点の直線が2本 (一番上と一番下の横の列)で、それぞれから3点を選ぶ組み合わせは$_{3}C_{3} = 1$ 通り。よって $1 \times 2 = 2$通り。

- 4点の直線が2本で (真ん中の2本の横の列) 、それぞれから3点を選ぶ組み合わせは$_{4}C_{3} = \frac{4!}{3!1!} = 4$通り。よって $4 \times 2 = 8$通り。

- 縦方向に4本の直線があり、それぞれに3つの点があります。それぞれから3点を選ぶ組み合わせは$_{3}C_{3} = 1$通り。よって $1 \times 4 = 4$通り。

- 斜め方向に直線があり、それらの上には3つの点があります. 3点を選ぶ組み合わせは $_{3}C_{3} = 1$通り。斜めの直線は合計4本ありますから、$1 \times 4 = 4$通り。

一直線上に並んだ3点を選ぶ組み合わせの総数は、$2 + 8 + 4 + 4 = 18$通りです。

したがって、三角形の総数は、

$455 - 18 = 437$

3. 最終的な答え

437個