2直線 $2x + 4y + 1 = 0$ と $x - 3y - 7 = 0$ のなす鋭角$\alpha$を、法線ベクトルを利用して求める問題です。

1. 問題の内容

2直線 $2x + 4y + 1 = 0$ と $x - 3y - 7 = 0$ のなす鋭角$\alpha$を、法線ベクトルを利用して求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの直線の法線ベクトルを求めます。

直線 $ax + by + c = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ で与えられます。

したがって、直線 $2x + 4y + 1 = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ です。

同様に、直線 $x - 3y - 7 = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ です。

2つのベクトルのなす角$\theta$は、内積を用いて求めることができます。

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\cos\theta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}

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ここで、

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\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (2)(1) + (4)(-3) = 2 - 12 = -10

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|\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

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|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}

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したがって、

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\cos\theta = \frac{-10}{2\sqrt{5} \sqrt{10}} = \frac{-10}{2\sqrt{50}} = \frac{-10}{2 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{-10}{10\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}

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$\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = \frac{3\pi}{4}$ （または $135^\circ$）です。

しかし、求めるのは鋭角$\alpha$なので、

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\alpha = \pi - \theta = \pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4}

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となります。

3. 最終的な答え

$\alpha = \frac{\pi}{4}$