3点 $A(6, 7, -8)$, $B(5, 5, -6)$, $C(6, 4, -2)$ を頂点とする $\triangle ABC$ において、$\angle ABC$ の大きさを求める。

1. 問題の内容

3点 $A(6, 7, -8)$, $B(5, 5, -6)$, $C(6, 4, -2)$ を頂点とする $\triangle ABC$ において、$\angle ABC$ の大きさを求める。

2. 解き方の手順

$\angle ABC$ を求めるためには、ベクトル $\overrightarrow{BA}$ と $\overrightarrow{BC}$ を用いる。

まず、ベクトル $\overrightarrow{BA}$ と $\overrightarrow{BC}$ を求める。

$\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = (6, 7, -8) - (5, 5, -6) = (1, 2, -2)$

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = (6, 4, -2) - (5, 5, -6) = (1, -1, 4)$

次に、$\overrightarrow{BA}$ と $\overrightarrow{BC}$ の内積を求める。

$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (1)(1) + (2)(-1) + (-2)(4) = 1 - 2 - 8 = -9$

次に、$\overrightarrow{BA}$ と $\overrightarrow{BC}$ の大きさをそれぞれ求める。

$|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$\cos \angle ABC$ は、次のように計算できる。

$\cos \angle ABC = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|} = \frac{-9}{3 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{-9}{9\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$\angle ABC = 135^\circ = \frac{3\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\angle ABC = 135^\circ$