三角形ABCにおいて、$AB=4$, $BC=\sqrt{21}$, $\angle A=60^\circ$のとき、$CA$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=4$, $BC=\sqrt{21}$, $\angle A=60^\circ$のとき、$CA$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。$\angle A$に対する余弦定理は、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

である。

与えられた値を代入すると、

$(\sqrt{21})^2 = 4^2 + CA^2 - 2 \cdot 4 \cdot CA \cdot \cos 60^\circ$

$21 = 16 + CA^2 - 8 \cdot CA \cdot \frac{1}{2}$

$21 = 16 + CA^2 - 4CA$

$CA^2 - 4CA - 5 = 0$

$(CA - 5)(CA + 1) = 0$

$CA = 5$ または $CA = -1$

$CA$は三角形の辺の長さなので、$CA > 0$である。

したがって、$CA=5$である。

3. 最終的な答え

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