三角形ABCにおいて、$\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $BC = 3$のとき、$CA$の値を求め、$\sqrt{\square}$の形で表す問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $BC = 3$のとき、$CA$の値を求め、$\sqrt{\square}$の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形の内角の和は180度であることから、$\angle C$を求めます。

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = 15^\circ$

次に、正弦定理を使って$CA$の長さを求めます。正弦定理は、三角形ABCにおいて、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

ここで、$a=BC$, $b=CA$, $c=AB$です。

したがって、$BC=3$なので、

$\frac{3}{\sin 120^\circ} = \frac{CA}{\sin 45^\circ}$

$CA = \frac{3 \sin 45^\circ}{\sin 120^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であり、$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるため、

$CA = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3} = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{6}$