点Aの位置ベクトル $\vec{a}$ が与えられたとき、以下のベクトル方程式で表される円の中心の位置ベクトルと円の半径を求める問題です。 (1) $|\vec{p} - \vec{a}| = 3$ (2) $|2\vec{p} - \vec{a}| = 4$

1. 問題の内容

点Aの位置ベクトル $\vec{a}$ が与えられたとき、以下のベクトル方程式で表される円の中心の位置ベクトルと円の半径を求める問題です。

(1) $|\vec{p} - \vec{a}| = 3$

(2) $|2\vec{p} - \vec{a}| = 4$

2. 解き方の手順

(1)

ベクトル $\vec{p}$ は点Pの位置ベクトルを表します。$|\vec{p} - \vec{a}|$ は点Pと点Aの距離を表します。方程式 $|\vec{p} - \vec{a}| = 3$ は、点Pと点Aの距離が常に3であることを意味します。したがって、点Pは点Aを中心とする半径3の円周上にあります。

よって、円の中心の位置ベクトルは $\vec{a}$ であり、半径は3です。

(2)

$|2\vec{p} - \vec{a}| = 4$ を変形します。まず、絶対値の中から2を括り出します。

$|2(\vec{p} - \frac{1}{2}\vec{a})| = 4$

絶対値の性質 $|k\vec{v}| = |k||\vec{v}|$ より、

$2|\vec{p} - \frac{1}{2}\vec{a}| = 4$

両辺を2で割ると、

$|\vec{p} - \frac{1}{2}\vec{a}| = 2$

この式は、点Pと、位置ベクトル $\frac{1}{2}\vec{a}$ を持つ点との距離が常に2であることを意味します。したがって、点Pは、位置ベクトル $\frac{1}{2}\vec{a}$ を持つ点を中心とする半径2の円周上にあります。

よって、円の中心の位置ベクトルは $\frac{1}{2}\vec{a}$ であり、半径は2です。

3. 最終的な答え

(1)

円の中心の位置ベクトル：$\vec{a}$

円の半径：3

(2)

円の中心の位置ベクトル：$\frac{1}{2}\vec{a}$

円の半径：2