$\triangle ABC$ の重心を $G$ とし、$\vec{BA} = \vec{a}$、$\vec{BC} = \vec{c}$ とする。$BP:PA = 2:3$ となる点 $P$ を辺 $AB$ 上にとり、直線 $PG$ と直線 $BC$ が交わる点を $Q$ とするとき、$\vec{BQ}$ を $\vec{c}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ の重心を $G$ とし、$\vec{BA} = \vec{a}$、$\vec{BC} = \vec{c}$ とする。$BP:PA = 2:3$ となる点 $P$ を辺 $AB$ 上にとり、直線 $PG$ と直線 $BC$ が交わる点を $Q$ とするとき、$\vec{BQ}$ を $\vec{c}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{BP} = \frac{2}{5} \vec{BA} = \frac{2}{5} \vec{a}$ である。

次に、$\vec{BG} = \frac{1}{3} (\vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB}) = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{c})$ である。

$\vec{AP} = \frac{3}{5} \vec{AB} = -\frac{3}{5} \vec{a}$

$\vec{BP} = \vec{AP} - \vec{AB} = \frac{2}{5} \vec{BA} = \frac{2}{5} \vec{a}$

$\vec{BP} = \frac{2}{5} \vec{a}$ より

$\vec{GP} = \vec{BP} - \vec{BG} = \frac{2}{5} \vec{a} - \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{c}) = (\frac{2}{5} - \frac{1}{3}) \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{c} = \frac{1}{15} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{c}$

$Q$ は直線 $PG$ 上の点なので、ある実数 $k$ が存在して、

$\vec{PQ} = k \vec{PG} = k (-\frac{1}{15} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{c})$

$\vec{BQ} = \vec{BP} + \vec{PQ} = \frac{2}{5} \vec{a} + k (-\frac{1}{15} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{c}) = (\frac{2}{5} - \frac{k}{15}) \vec{a} + \frac{k}{3} \vec{c}$

$Q$ は直線 $BC$ 上の点なので、$\vec{BQ} = t \vec{BC} = t \vec{c}$ と表せる。（$t$ は実数）

したがって、$(\frac{2}{5} - \frac{k}{15}) \vec{a} + \frac{k}{3} \vec{c} = t \vec{c}$

$\vec{a}$ と $\vec{c}$ は一次独立なので、

$\frac{2}{5} - \frac{k}{15} = 0$ かつ $\frac{k}{3} = t$

$\frac{k}{15} = \frac{2}{5}$ より $k = 6$

$t = \frac{6}{3} = 2$

$\vec{BQ} = 2 \vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{BQ} = 2\vec{c}$