正八角形の3つの頂点を結んでできる三角形について、以下の個数を求めます。 (1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数 (2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数

1. 問題の内容

正八角形の3つの頂点を結んでできる三角形について、以下の個数を求めます。

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数

2. 解き方の手順

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数

正八角形において、2辺を共有する三角形は、隣り合う3つの頂点を選ぶことで決定されます。正八角形には8つの頂点があるので、そのような頂点の選び方は8通りあります。

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数

まず、正八角形の頂点から3つの頂点を選ぶ選び方（三角形の総数）を計算します。これは ${}_8 C_3$ で計算できます。

${}_8 C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

次に、正八角形と1辺のみを共有する三角形の個数を計算します。1つの辺を共有する三角形を作るには、まず共有する辺を選びます。これは8通りです。次に、その辺の両端の頂点以外の頂点を1つ選びます。共有する辺の両端の頂点以外の頂点は5つあります。したがって、1辺のみを共有する三角形の個数は $8 \times 5 = 40$ です。ただし、1辺のみ共有する三角形の場合、隣り合う辺の選び方で重複して数える場合があるので注意する必要があります。

正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数は、8個の辺それぞれに対して5個ずつあるように見えますが、実際に正八角形を書いて確認してみると、1つの辺を共有する場合、残りの1つの頂点は隣り合う頂点を選ぶことはできません。つまり、1つの辺を共有する三角形は、その辺に対して5個の頂点を選ぶことができるため、$8 \times 5 = 40$ となります。ただし、2つの辺を共有する三角形はすでに(1)で計算しているので、これを除く必要があります。

正八角形と少なくとも1辺を共有する三角形の個数は、2辺を共有する三角形が8個、1辺を共有する三角形は頂点の選び方から、$8 \times (8-4) = 8 \times 4 = 32$となる。ただし、このやり方だと1辺を共有する場合の数え方が正しくありません。

別の方法で計算します。

全ての三角形の数から、1辺も共有しない三角形の数を求めるには、1辺を共有する三角形と2辺を共有する三角形の数を引けば良いです。

まず、全三角形の数は${}_8 C_3 = 56$です。

2辺を共有する三角形の数は8個です。

1辺を共有する三角形の数は、1つの辺を選び、その両隣以外の頂点を選ぶ必要があります。したがって、$8 \times 4 = 32$となります。

したがって、少なくとも1辺を共有する三角形の数は、$8+32 = 40$個です。

したがって、1辺も共有しない三角形の数は、$56 - 8 - 32 = 16$個です。

3. 最終的な答え

(1) 8個

(2) 16個