三角形ABCにおいて、$AB = 4$、$\angle BAC = 135^\circ$、面積が$7\sqrt{2}$であるとき、$CA$の長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 4$、$\angle BAC = 135^\circ$、面積が$7\sqrt{2}$であるとき、$CA$の長さを求める。

2. 解き方の手順

三角形の面積の公式を用いる。面積を$S$、2辺の長さを$a,b$、間の角を$\theta$とすると、

$S = \frac{1}{2}ab\sin\theta$

今回は、$S = 7\sqrt{2}$、$AB = 4$、$\angle BAC = 135^\circ$、$CA = x$ とすると、

$7\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot x \cdot \sin 135^\circ$

$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$であるから、

$7\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$7\sqrt{2} = x\sqrt{2}$

両辺を$\sqrt{2}$で割ると、$x = 7$

したがって、$CA = 7$

3. 最終的な答え

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