## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は、正方形ABCDと正方形AEFGがあり、正方形ABCDの面積が正方形AEFGの面積の2倍である。線分BEの長さが1cmのとき、正方形ABCDの一辺の長さ（線分ABの長さ）を求める問題である。

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2. 解き方の手順

1. 正方形ABCDの一辺の長さを$x$とすると、正方形AEFGの一辺の長さは$x-1$となる。

2. 正方形ABCDの面積は$x^2$であり、正方形AEFGの面積は$(x-1)^2$である。

3. 問題文より、$x^2 = 2(x-1)^2$という関係式が成り立つ。

4. この関係式を解く。

$x^2 = 2(x^2 - 2x + 1)$

$x^2 = 2x^2 - 4x + 2$

$0 = x^2 - 4x + 2$

5. 解の公式を用いて$x$を求める。

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

6. $x = 2 + \sqrt{2}$と$x = 2 - \sqrt{2}$の2つの解が得られたが、$x-1>0$でなければならない。

$2-\sqrt{2} \approx 2 - 1.414 = 0.586$なので、$x-1$が正の値にならない。

したがって、$x = 2 + \sqrt{2}$のみが解となる。

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3. 最終的な答え

辺ABの長さは$2 + \sqrt{2}$cmである。