## 問題の内容

## 問題の内容

画像に掲載されている数学の問題を解きます。具体的には、点対称な点の座標、直線を引く条件を満たす点の座標、2点を通る直線、点と直線から求められる直線の方程式を求めます。

## 解き方の手順

以下、個々の問題について解き方を説明します。

**問1** 点P(5, -7)に対して以下の点の座標を求めます。

(1) x軸に関して対称な点

(2) y軸に関して対称な点

(3) 原点に関して対称な点

解き方:

(1) x軸に関して対称な点は、y座標の符号が変わります。

(2) y軸に関して対称な点は、x座標の符号が変わります。

(3) 原点に関して対称な点は、x座標とy座標の符号が変わります。

**問2** 2つの集合AとBについて、以下の点の座標を求めます。

A = {x | x は1以下}

B = {x | x は2以上}

(1) Aに属する

(2) Bに属する

解き方:

(1) Aに属するものは、$x \le 1$を満たすものです。

(2) Bに属するものは、$x \ge 2$を満たすものです。

**問3** 次のような条件を満たす点の座標を求めます。

$x^2 + y^2 = 5$と$y = x - 3$を両方満たす

解き方:

$y=x-3$を$x^2 + y^2 = 5$に代入して、$x$に関する二次方程式を解きます。

$x^2 + (x-3)^2 = 5$

$x^2 + x^2 - 6x + 9 = 5$

$2x^2 - 6x + 4 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x-1)(x-2) = 0$

$x = 1, 2$

$x=1$のとき、$y=1-3=-2$

$x=2$のとき、$y=2-3=-1$

**問4** 次のような条件の直線の方程式を求めます。

点A(-2,3)を通り、傾きが5の直線

解き方:

点(x1, y1)を通り、傾きmの直線の方程式は、$y-y_1 = m(x-x_1)$です。

$y-3 = 5(x-(-2))$

$y-3 = 5x + 10$

$y = 5x + 13$

**問5** (1, 1)と(3, 5)の2点を通る直線

解き方:

2点(x1, y1)と(x2, y2)を通る直線の方程式は、$(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1)$です。

$(y-1) = \frac{5-1}{3-1} (x-1)$

$(y-1) = 2(x-1)$

$y-1 = 2x - 2$

$y = 2x - 1$

**問6** 次の点と次の直線の方程式を求めます。

(1) 原点, 3x - 4y - 5 = 0

(2) 原点, y = -2x + 1

(3) 点(2, 8), 直線 4x + 3y - 12 = 0

(4) 点(-1, 2), 直線 y = 3x + 1

(5) 点(3, 2), 直線 5x - 12y = 1

(6) 点(5, -2), 直線 y = 4

(7) 点(-1, 3), 直線 x = 4

解き方:

点$(x_0, y_0)$と直線$ax+by+c=0$からの距離は$\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

(1) $\frac{|3*0-4*0-5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{5}{5}=1$

(2) $y+2x-1=0$, $\frac{|0+2*0-1|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

(3) $\frac{|4*2+3*8-12|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{|8+24-12|}{5}=\frac{20}{5}=4$

(4) $\frac{|-2-3*1+1|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{|-4|}{\sqrt{10}}=\frac{4}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$

(5) $\frac{|5*3-12*2-1|}{\sqrt{5^2+(-12)^2}}=\frac{|15-24-1|}{13}=\frac{10}{13}$

(6) $y-4=0$, $\frac{|-2-4|}{\sqrt{1^2}}=6$

(7) $x-4=0$, $\frac{|-1-4|}{\sqrt{1^2}}=5$

## 最終的な答え

問1:

(1) (5, 7)

(2) (-5, -7)

(3) (-5, 7)

問2: 該当する要素の正確なリストを提供するには、具体的な値が必要です.例えば、x=0はAに属し、x=3はBに属します.

問3: (1, -2), (2, -1)

問4: y = 5x + 13

問5: y = 2x - 1

問6:

(1) 1

(2) $\frac{\sqrt{5}}{5}$

(3) 4

(4) $\frac{2\sqrt{10}}{5}$

(5) $\frac{10}{13}$

(6) 6

(7) 5