円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線AB, CDの交点をPとする。PA = 3, AB = 7, CD = 1であるとき、PCの長さを求める。

幾何学方べきの定理相似二次方程式
2025/7/3

1. 問題の内容

円周上に4点A, B, C, Dがあり、直線AB, CDの交点をPとする。PA = 3, AB = 7, CD = 1であるとき、PCの長さを求める。

2. 解き方の手順

円の外部の点Pから円に引いた2本の直線に関する方べきの定理を利用する。
方べきの定理より、
PAPB=PCPDPA \cdot PB = PC \cdot PD
が成り立つ。
問題文より、PA=3PA = 3, AB=7AB = 7であるから、
PB=PA+AB=3+7=10PB = PA + AB = 3 + 7 = 10
である。
また、CD=1CD = 1であるから、PD=PC+CD=PC+1PD = PC + CD = PC + 1となる。
これらを方べきの定理の式に代入すると、
310=PC(PC+1)3 \cdot 10 = PC \cdot (PC + 1)
30=PC2+PC30 = PC^2 + PC
PC2+PC30=0PC^2 + PC - 30 = 0
この2次方程式を解く。
(PC+6)(PC5)=0(PC + 6)(PC - 5) = 0
PC=6,5PC = -6, 5
PCは長さなので、正の値をとる。したがって、PC=5PC = 5となる。

3. 最終的な答え

PC = 5

「幾何学」の関連問題

点A, Bの極座標がそれぞれ $(3, \frac{\pi}{6})$, $(4, \frac{\pi}{3})$ で与えられている。極Oと点A, Bを頂点とする三角形OABの面積Sを求めよ。

極座標面積三角関数
2025/7/3

三角形 ABC において、$\angle ABC = \angle DAC$, $AD = 2\text{cm}$, $AC = 6\text{cm}$, $CD = 5\text{cm}$ であると...

相似三角形辺の比中点連結定理
2025/7/3

問題は2つあります。 (6) 右図の三角柱の体積を求める問題。三角柱の底面は直角三角形で、底辺が4cm、高さが2cm、柱の高さが5cmです。 (7) 右図の円錐の体積を求める問題。円錐の底面の半径が5...

体積三角柱円錐図形
2025/7/3

半径が5cm、中心角が135°のおうぎ形の面積を求める問題です。

おうぎ形面積半径中心角円周率
2025/7/3

2点A(4, 3), B(4, -4)と直線 $l: y = 3x$ が与えられている。 (i) 三角形OABの面積を求めよ。 (ii) 点Aを通り、直線lに平行な直線mの式を求めよ。 (iii) 直...

幾何座標平面三角形の面積直線の式平行面積
2025/7/3

$\triangle ABC$において、$\angle ACB$は鈍角で$BC > AC$であり、$AB = 6$, $BC = 3\sqrt{2}$, $\sin{\angle ACB} = \fr...

三角比正弦定理余弦定理三角形外接円
2025/7/3

問題文は以下の通りです。 (3) 辺AB上に$\angle ACD = 90^\circ$となるような点Dをとる。このとき、線分CDの長さを求めよ。また、$\triangle ABD$の外接円の中心を...

三角形外接円四角形長さ面積
2025/7/3

正四面体の4つの面に、赤、青、黄、緑の4色を1面ずつ塗る。回転してすべての面の色の並びが同じになる場合は、同じ塗り方とみなすとき、異なる塗り方は何通りあるかを求める問題です。

正四面体色の塗り分け回転順列
2025/7/3

正八角形の3つの頂点を結んでできる三角形のうち、正八角形と辺を共有しないものは何個あるか。

多角形組み合わせ図形
2025/7/3

5本の平行線と、それらに交わる4本の平行線があります。これらの平行線によって作られる平行四辺形は全部で何個あるかを求めます。

組み合わせ平行四辺形図形
2025/7/3