与えられた点と直線の距離を求める問題です。7つの小問があります。

1. 問題の内容

与えられた点と直線の距離を求める問題です。7つの小問があります。

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、以下の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

各小問について、この公式を適用します。

(1) 点 (0, 0)、直線 $3x - 4y - 5 = 0$

$d = \frac{|3(0) - 4(0) - 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{5}{\sqrt{25}} = \frac{5}{5} = 1$

(2) 点 (0, 0)、直線 $y = -2x + 1$。これは $2x + y - 1 = 0$ と変形できます。

$d = \frac{|2(0) + (0) - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(3) 点 (2, 8)、直線 $4x + 3y - 12 = 0$

$d = \frac{|4(2) + 3(8) - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|8 + 24 - 12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|20|}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4$

(4) 点 (-1, 2)、直線 $y = 3x + 1$。これは $3x - y + 1 = 0$ と変形できます。

$d = \frac{|3(-1) - (2) + 1|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|-3 - 2 + 1|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{4\sqrt{10}}{10} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$

(5) 点 (3, 2)、直線 $5x - 12y = 1$。これは $5x - 12y - 1 = 0$ と変形できます。

$d = \frac{|5(3) - 12(2) - 1|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|15 - 24 - 1|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|-10|}{\sqrt{169}} = \frac{10}{13}$

(6) 点 (5, -2)、直線 $y = 4$。これは $y - 4 = 0$ と変形できます。

$d = \frac{|(5)(0) + (-2)(1) - 4|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|-2 - 4|}{\sqrt{1}} = \frac{|-6|}{1} = 6$

(7) 点 (-1, 3)、直線 $x = 4$。これは $x - 4 = 0$ と変形できます。

$d = \frac{|(-1)(1) + (3)(0) - 4|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|-1 - 4|}{\sqrt{1}} = \frac{|-5|}{1} = 5$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{\sqrt{5}}{5}$

(3) 4

(4) $\frac{2\sqrt{10}}{5}$

(5) $\frac{10}{13}$

(6) 6

(7) 5