円に内接する四角形ABCDがあり、点Cで直線TT'と接している。$\angle BAD = 100^\circ$、$\angle DCT' = 40^\circ$であるとき、$\angle BDC$を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、点Cで直線TT'と接している。$\angle BAD = 100^\circ$、$\angle DCT' = 40^\circ$であるとき、$\angle BDC$を求める問題です。

2. 解き方の手順

* 円に内接する四角形の対角の和は180°なので、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$です。

* 接弦定理より、$\angle CBA = \angle DCT' = 40^\circ$です。

* 三角形の内角の和は180°なので、$\angle ABC = 180^\circ - \angle BCD - \angle DCT' = 180^\circ - 80^\circ - 40^\circ = 60^\circ$です。

したがって、$\angle CBD = 180^\circ - \angle CBA - \angle ABD = 60^\circ$.

* $\angle CBD = \angle CAD$.

* $\angle ACB = \angle ABD$.

* $\angle BAC + \angle BDC + \angle BCA = 180^\circ$

* 接弦定理から $\angle CBD = \angle DCT' = 40^{\circ}$

* $\angle BAC = \angle BDC$.

* 円周角の定理より、$\angle BAC = 40^\circ$.

* したがって、$\angle BDC = \angle CBD - \angle ABD$.

* $\angle CAD = \angle BDC$なので、$\angle CAD = \angle CBD = 40^\circ$.

* 円に内接する四角形の性質より$\angle BCD + \angle BAD = 180^{\circ}$なので, $\angle BCD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$

* $\angle BDC = \angle BAC$ (弧BCに対する円周角)

* 接弦定理より、$\angle BAC = \angle BCT'$.$\angle BCT' + \angle BCD = 180^\circ$であるから$\angle BCD = 180^\circ - \angle BCT'$なので, $\angle BCD = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$

$\angle BAC = \angle BCT'$.

$\angle BCT'$の対角は、四角形の外角なので、$\angle BCT' = \angle BAD = 100^{\circ}$

* $\angle BDC = \angle BAC = 100^{\circ}$.

3. 最終的な答え

$\angle BDC = 40^\circ$