(1) 図において、OA = OB = OC であり、∠AOB = 80°のとき、∠x の大きさを求める。 (2) 図において、AE = AD であり、∠ABD = ∠CBD, ∠C = 60° のとき、∠x の大きさを求める。

1. 問題の内容

(1) 図において、OA = OB = OC であり、∠AOB = 80°のとき、∠x の大きさを求める。

(2) 図において、AE = AD であり、∠ABD = ∠CBD, ∠C = 60° のとき、∠x の大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1)

OA = OB なので、三角形OABは二等辺三角形である。したがって、∠OAB = ∠OBA。

三角形の内角の和は180°なので、∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°。

$2 \times ∠OAB + 80° = 180°$

$2 \times ∠OAB = 100°$

$∠OAB = 50°$

同様に、OB = OC なので、三角形OBCは二等辺三角形である。したがって、∠OBC = ∠OCB = x。

三角形の内角の和は180°なので、∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°。

∠BOC = 360° - ∠AOB - ∠AOC = 360° - 80° - ∠AOC。

OA=OCなので、三角形OACは二等辺三角形であり、∠OAC = ∠OCA。∠AOC+2∠OCA=180。

OA=OB=OCなので、中心角と円周角の関係が成り立つ。∠AOB = 80°より、∠ACB = 40° となる。

∠ACB = x なので、x = 40°

(2)

∠ABD = ∠CBD より、BDは∠ABCの二等分線である。

AE = AD なので、三角形ADEは二等辺三角形である。したがって、∠AED = ∠ADE。

∠C = 60° なので、∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠C = 180° - ∠BAC - 60° = 120° - ∠BAC。

∠ABD = ∠CBD = (1/2) ∠ABC = (1/2)(120° - ∠BAC) = 60° - (1/2) ∠BAC。

三角形BCDにおいて、∠BDC = 180° - ∠CBD - ∠C = 180° - (60° - (1/2) ∠BAC) - 60° = 60° + (1/2) ∠BAC。

∠ADE = 180° - ∠BDC = 180° - (60° + (1/2) ∠BAC) = 120° - (1/2) ∠BAC。

∠AED = ∠ADE なので、∠AED = 120° - (1/2) ∠BAC。

三角形ADEにおいて、∠DAE + ∠ADE + ∠AED = 180°。

∠DAE + 2 (120° - (1/2) ∠BAC) = 180°。

∠DAE + 240° - ∠BAC = 180°。

∠DAE - ∠BAC = -60°。

∠DAE = ∠BAC - 60°。

∠BAC = x なので、∠DAE = x - 60°。

ここで、∠DAE = ∠BAC = x なので、AD = AE から ∠ADE = ∠AED。

したがって、∠ADE = ∠AED = (180-x) / 2。

一方、∠ADC = ∠ADE + ∠EDC = 180-60 = 120度。

∠ADE = 120 - ∠EDC。

∠ABC + 60 + x = 180。

∠ABC = 120 - x。

∠ABD = ∠ABC/2 = (120-x)/2 = 60- x/2。

∠ADB + ∠ABD + A = 180

∠ADB = 180-A-∠ABD = 180-x- 60+x/2 = 120 - x/2。

∠ADE+60-x/2 = 120 - x/2。

∠ADE = 60 度。

3. 最終的な答え

(1) 40°

(2) 30°