図の角度 $x$ の大きさを求める問題です。二つの小問があります。

1. 問題の内容

図の角度 $x$ の大きさを求める問題です。二つの小問があります。

2. 解き方の手順

(1)

$OA=OB=OC$であるから、三角形$OAB$と三角形$OBC$は二等辺三角形です。

三角形$OAB$において、$OA=OB$より、$\angle OAB = \angle OBA$です。

$\angle AOB = 80^\circ$なので、$\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 50^\circ$です。

同様に、三角形$OBC$において、$OB=OC$より、$\angle OBC = \angle OCB = x$です。

$\angle BOC = \angle AOB = 80^\circ$だから、$\angle OBC = \angle OCB = (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 50^\circ$です。

よって、$x = 50^\circ$です。

(2)

$AE=AD$より、三角形$ADE$は二等辺三角形なので、$\angle AED = \angle ADE$です。$\angle DAE = x$とします。

したがって、$\angle AED = \angle ADE = (180^\circ - x) / 2$です。

$\angle ABD = \angle CBD$なので、$\angle ABC = 2\angle CBD$です。

三角形$ABC$の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$です。

したがって、$x + 2\angle CBD + 60^\circ = 180^\circ$です。

$2\angle CBD = 120^\circ - x$なので、$\angle CBD = (120^\circ - x) / 2 = 60^\circ - x/2$です。

ここで、$\angle ADC = \angle ABD + \angle BAD = \angle CBD + \angle BAD$です。

また、$\angle ADE = \angle CDB$であり、$\angle ADC = \angle ADE + \angle EDC$です。

$\angle AED = \angle ADE = (180^\circ - x) / 2 = 90^\circ - x/2$です。

三角形$ABC$において、$\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ$です。$\angle ACB = 60^\circ$なので、$\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ - x = 120^\circ - x$です。$\angle ABC = 2 \angle DBC$なので、$\angle DBC = (120^\circ - x)/2 = 60^\circ - x/2$です。

$\angle ADB$は三角形$ABD$の外角なので、$\angle ADB = \angle BAD + \angle ABD = x + (60^\circ - x/2) = 60^\circ + x/2$です。

$\angle ADE = (180^\circ - x)/2 = 90^\circ - x/2$なので、$\angle EDB = 180^\circ - \angle ADE = 180^\circ - (90^\circ - x/2) = 90^\circ + x/2$です。

$\angle EDB = \angle ADC$です。

$\angle C = 60^\circ$なので、$\angle EDB + \angle EDC = 180^\circ$です。

$\angle AED = \angle ADC + \angle EAD = 90 - x/2$

$60 + x/2 + x/2 + 60 -x/2 = 180$

$x + 120 - x = 60$

$x = 20$

3. 最終的な答え

(1) $x = 50^\circ$

(2) $x = 20^\circ$