図に示された直方体（のような図形）において、指定されたベクトル同士の内積を計算する問題です。ABFEとBCGFは正方形で、AEHDは長方形です。AE=2、BF=BC=1が分かっています。また、角ABFは90度です。 (1) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ (2) $\vec{BF} \cdot \vec{BC}$ (3) $\vec{EF} \cdot \vec{EG}$ (4) $\vec{CG} \cdot \vec{EF}$ (5) $\vec{AC} \cdot \vec{DC}$ (6) $\vec{EC} \cdot \vec{EG}$

1. 問題の内容

図に示された直方体（のような図形）において、指定されたベクトル同士の内積を計算する問題です。ABFEとBCGFは正方形で、AEHDは長方形です。AE=2、BF=BC=1が分かっています。また、角ABFは90度です。

(1) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$

(2) $\vec{BF} \cdot \vec{BC}$

(3) $\vec{EF} \cdot \vec{EG}$

(4) $\vec{CG} \cdot \vec{EF}$

(5) $\vec{AC} \cdot \vec{DC}$

(6) $\vec{EC} \cdot \vec{EG}$

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot (\vec{AB} + \vec{BC}) = |\vec{AB}|^2 + \vec{AB} \cdot \vec{BC}$

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$ なので、$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}|^2 = 1^2 = 1$

(2) $\vec{BF} \cdot \vec{BC} = 0$ (直角なので)

(3) $\vec{EF} \cdot \vec{EG} = \vec{EF} \cdot (\vec{EF} + \vec{FG}) = |\vec{EF}|^2 + \vec{EF} \cdot \vec{FG}$

$\vec{EF} \cdot \vec{FG} = 0$ なので、$\vec{EF} \cdot \vec{EG} = |\vec{EF}|^2 = 1^2 = 1$

(4) $\vec{CG} \cdot \vec{EF} = \vec{CG} \cdot \vec{BA} = 0$ (直角なので)

(5) $\vec{AC} \cdot \vec{DC} = (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{DA} + \vec{AC}) = (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{CB} + \vec{AB} + \vec{BC}) = (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{AB}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2 = 1^2 = 1$

別解:

$\vec{AC} \cdot \vec{DC} = (\vec{AF} + \vec{FC}) \cdot \vec{DC}$

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

$\vec{DC} = \vec{DA} + \vec{AC} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BC}$

$\vec{AC} \cdot \vec{DC} = (\vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BC}) = \vec{AB} \cdot \vec{DA} + |\vec{AB}|^2 + \vec{AB} \cdot \vec{BC} + \vec{BC} \cdot \vec{DA} + \vec{BC} \cdot \vec{AB} + |\vec{BC}|^2 = 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1$

(6) $\vec{EC} \cdot \vec{EG} = (\vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BG}) = (\vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BC} - \vec{CF}) = (\vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BC}) \cdot (\vec{EA} + \vec{AB} + \vec{BG}) = \vec{EA} \cdot \vec{EA} + \vec{EA} \cdot \vec{AB} + \vec{EA} \cdot \vec{BG} + \vec{AB} \cdot \vec{EA} + \vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AB} \cdot \vec{BG} + \vec{BC} \cdot \vec{EA} + \vec{BC} \cdot \vec{AB} + \vec{BC} \cdot \vec{BG} = |\vec{EA}|^2 + |\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2= 2^2 + 1^2 + 1^2 = 4+1+1 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1$

(2) $\vec{BF} \cdot \vec{BC} = 0$

(3) $\vec{EF} \cdot \vec{EG} = 1$

(4) $\vec{CG} \cdot \vec{EF} = 0$

(5) $\vec{AC} \cdot \vec{DC} = 1$

(6) $\vec{EC} \cdot \vec{EG} = 6$