$\triangle ABC$において、辺$BC$を$3:1$に内分する点を$D$、線分$AD$を$3:1$に内分する点を$E$とする。$\vec{AE}, \vec{BE}$を$\vec{AB}, \vec{AC}$で表せ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、辺$BC$を$3:1$に内分する点を$D$、線分$AD$を$3:1$に内分する点を$E$とする。$\vec{AE}, \vec{BE}$を$\vec{AB}, \vec{AC}$で表せ。

2. 解き方の手順

まず、点$D$は辺$BC$を$3:1$に内分するので、

$\vec{AD} = \frac{1 \cdot \vec{AB} + 3 \cdot \vec{AC}}{3+1} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{AC}$

次に、点$E$は線分$AD$を$3:1$に内分するので、

$\vec{AE} = \frac{1 \cdot \vec{AA} + 3 \cdot \vec{AD}}{3+1} = \frac{3}{4}\vec{AD}$

$\vec{AE} = \frac{3}{4} (\frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{AC})$

$\vec{AE} = \frac{3}{16}\vec{AB} + \frac{9}{16}\vec{AC}$

次に、$\vec{BE}$を求める。

$\vec{BE} = \vec{AE} - \vec{AB}$

$\vec{BE} = \frac{3}{16}\vec{AB} + \frac{9}{16}\vec{AC} - \vec{AB}$

$\vec{BE} = (\frac{3}{16}-1)\vec{AB} + \frac{9}{16}\vec{AC}$

$\vec{BE} = -\frac{13}{16}\vec{AB} + \frac{9}{16}\vec{AC}$

3. 最終的な答え

$\vec{AE} = \frac{3}{16}\vec{AB} + \frac{9}{16}\vec{AC}$

$\vec{BE} = -\frac{13}{16}\vec{AB} + \frac{9}{16}\vec{AC}$