(1) 図において、OA = OB = OC であり、角AOC = 80°であるとき、角xの大きさを求めよ。 (2) 図において、AE = AD であり、角ABD = 角CBD であり、角ACB = 60°であるとき、角xの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

(1) 図において、OA = OB = OC であり、角AOC = 80°であるとき、角xの大きさを求めよ。

(2) 図において、AE = AD であり、角ABD = 角CBD であり、角ACB = 60°であるとき、角xの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、三角形OABと三角形OBCはそれぞれ二等辺三角形である。

三角形OABにおいて、OA = OBなので、角OAB = 角OBA。

三角形OBCにおいて、OB = OCなので、角OBC = 角OCB = x。

三角形OACにおいて、OA = OCなので、角OAC = 角OCA。

三角形ABCの内角の和は180度なので、

$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ}$

$(\angle OAB + \angle OAC) + (\angle OBA + \angle OBC) + x = 180^{\circ}$

$\angle AOC + \angle OBC + \angle OBA = 80^{\circ}$

$\angle AOB + \angle BOC = 360^\circ - 80^\circ = 280^{\circ}$

$\angle OAB = \angle OBA = a$とすると、 $2a + \angle AOB = 180^{\circ}$

$\angle OBC = \angle OCB = x$なので、 $2x + \angle BOC = 180^{\circ}$

$2a + \angle AOB + 2x + \angle BOC = 360^{\circ}$

$2a + 2x + 280^{\circ} = 360^{\circ}$

$2a + 2x = 80^{\circ}$

$a + x = 40^{\circ}$

三角形OACは二等辺三角形なので、$\angle OAC = \angle OCA = b$

$80 + 2b = 180$

$2b = 100$

$b = 50$

$a = \angle OAB$

$a + 50 + x = 180/2 = 90$

$a + x = 40^{\circ}$

$x = 35$

(2)

三角形ADEは二等辺三角形なので、角AED = 角ADE

角DAE = x

$180 - x = 2\angle AED$

$2\angle AED = 180 - x$

$\angle AED = 90 - \frac{x}{2}$

$\angle AEB = 180 - \angle AED = 180 - (90 - \frac{x}{2}) = 90 + \frac{x}{2}$

$\angle ABD = \angle CBD = y$

三角形ABCの内角の和は180度なので、

$x + 2y + 60 = 180$

$2y + x = 120$

$2y = 120 - x$

$y = 60 - \frac{x}{2}$

三角形ABEにおいて、

$\angle BAE + \angle ABE + \angle AEB = 180$

$x + y + 90 + \frac{x}{2} = 180$

$x + 60 - \frac{x}{2} + 90 + \frac{x}{2} = 180$

$x + 150 = 180$

$x = 30$

3. 最終的な答え

(1) 35°

(2) 30°