立方体 ABCD-EFGH において、$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{EG}$ を求めよ。ただし、立方体の1辺の長さは2である。

1. 問題の内容

立方体 ABCD-EFGH において、$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{EG}$ を求めよ。ただし、立方体の1辺の長さは2である。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{EC}$ と $\overrightarrow{EG}$ をそれぞれ成分表示する。

座標を設定する。A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), E(0,0,2), F(2,0,2), G(2,2,2), H(0,2,2) とする。

このとき、E(0,0,2), C(2,2,0), G(2,2,2) であるから、

$\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OE} = (2,2,0) - (0,0,2) = (2,2,-2)$

$\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OE} = (2,2,2) - (0,0,2) = (2,2,0)$

内積を計算する。

$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{EG} = (2,2,-2) \cdot (2,2,0) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 = 4 + 4 + 0 = 8$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{EG} = 8$