半径 $2a$ cm の半球形の容器に水が満たされている。この容器を $30^\circ$ 傾けたときにこぼれる水の量を求める。

1. 問題の内容

半径 $2a$ cm の半球形の容器に水が満たされている。この容器を $30^\circ$ 傾けたときにこぼれる水の量を求める。

2. 解き方の手順

こぼれる水の量は、底面が扇形となる三角柱の体積として計算できる。

まず、扇形の中心角を求める。

容器を傾けた角度が $30^\circ$ なので、こぼれた水の表面は水平になり、扇形の中心角は $2 \times 30^\circ = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ ラジアンとなる。

扇形の面積 $S$ は、半径 $r = 2a$ cm、中心角 $\theta = \frac{\pi}{3}$ ラジアンを用いて、

$S = \frac{1}{2} r^2 \theta$ で計算できる。

$S = \frac{1}{2} (2a)^2 \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} (4a^2) \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi a^2}{3}$

次に、三角柱の高さを求める。

三角柱の高さは、半球の半径 $2a$ cm に等しい。

こぼれる水の体積 $V$ は、扇形の面積 $S$ と三角柱の高さ $2a$ cm を用いて、

$V = S \times 2a = \frac{2\pi a^2}{3} \times 2a = \frac{4\pi a^3}{3}$

3. 最終的な答え

こぼれる水の量は $\frac{4\pi a^3}{3} \text{ cm}^3$ である。