座標空間上に3点A(0, -1, 2), B(-1, 0, 5), C(1, 1, 3)がある。この3点によって定まる三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

座標空間上に3点A(0, -1, 2), B(-1, 0, 5), C(1, 1, 3)がある。この3点によって定まる三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

三角形ABCの面積を求めるために、ベクトル$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を計算する。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (-1, 0, 5) - (0, -1, 2) = (-1, 1, 3)$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (1, 1, 3) - (0, -1, 2) = (1, 2, 1)$

次に、ベクトル$\vec{AB}$と$\vec{AC}$の外積を計算する。

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1) - (3)(2) \\ (3)(1) - (-1)(1) \\ (-1)(2) - (1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 6 \\ 3 + 1 \\ -2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$

外積の絶対値を計算する。

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-5)^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

三角形ABCの面積は、外積の絶対値の半分である。

$S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} (5\sqrt{2}) = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\sqrt{2}}{2}$