双曲線の方程式 $9x^2 - 16y^2 = -144$ が与えられたとき、その両辺を144で割り、さらに $x = 4 \tan \theta$, $y = \frac{3}{\cos \theta}$ を示す。

1. 問題の内容

双曲線の方程式 $9x^2 - 16y^2 = -144$ が与えられたとき、その両辺を144で割り、さらに $x = 4 \tan \theta$, $y = \frac{3}{\cos \theta}$ を示す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた双曲線の方程式 $9x^2 - 16y^2 = -144$ の両辺を -144 で割ります。

$$\frac{9x^2}{-144} - \frac{16y^2}{-144} = \frac{-144}{-144}$$

これを整理すると

$$-\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$$

さらに書き換えると

$$\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$$

これは標準的な双曲線の方程式です。

次に、$x = 4 \tan \theta$ と $y = \frac{3}{\cos \theta}$ を代入して、元の双曲線の方程式が成り立つことを確認します。

$x = 4 \tan \theta$ より $x^2 = 16 \tan^2 \theta$

$y = \frac{3}{\cos \theta}$ より $y^2 = \frac{9}{\cos^2 \theta}$

これらを $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$ に代入すると

$$\frac{9}{9\cos^2 \theta} - \frac{16 \tan^2 \theta}{16} = 1$$

$$\frac{1}{\cos^2 \theta} - \tan^2 \theta = 1$$

$\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$ であるから

$$\frac{1}{\cos^2 \theta} - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = 1$$

$$\frac{1 - \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = 1$$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ であるから

$$\frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = 1$$

$$1 = 1$$

したがって、$x = 4 \tan \theta$ と $y = \frac{3}{\cos \theta}$ は与えられた双曲線の方程式を満たします。

3. 最終的な答え

$9x^2 - 16y^2 = -144$ の両辺を-144で割ると、$\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$となり、$x = 4 \tan \theta$ と $y = \frac{3}{\cos \theta}$ を代入すると、双曲線の方程式を満たす。