与えられた円の方程式から、円の中心の座標と半径を求めます。具体的には、 (2) $x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$ (3) $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 5 = 0$ のそれぞれについて、円の中心と半径を求めます。

1. 問題の内容

与えられた円の方程式から、円の中心の座標と半径を求めます。具体的には、

(2) $x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$

(3) $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 5 = 0$

のそれぞれについて、円の中心と半径を求めます。

2. 解き方の手順

円の方程式を標準形 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ に変形します。ここで、$(a, b)$ は円の中心の座標、$r$ は半径です。平方完成を利用して、与えられた式を標準形に変形します。

(2) $x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$

$x$ に関する項と $y$ に関する項をそれぞれ平方完成します。

$(x^2 - 6x) + (y^2 - 8y) = 0$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = 9 + 16$

$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$

したがって、円の中心は $(3, 4)$ であり、半径は $\sqrt{25} = 5$ です。

(3) $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 5 = 0$

同様に、$x$ に関する項と $y$ に関する項をそれぞれ平方完成します。

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) = 5$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 5 + 4 + 1$

$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 10$

したがって、円の中心は $(-2, 1)$ であり、半径は $\sqrt{10}$ です。

3. 最終的な答え

(2) 円の中心: $(3, 4)$、半径: $5$

(3) 円の中心: $(-2, 1)$、半径: $\sqrt{10}$