7本の直線 $x = k$ ($k = 0, 1, 2, \dots, 6$) と5本の直線 $y = l$ ($l = 0, 1, 2, 3, 4$) が交わってできる長方形（正方形を含む）の総数と、そのうち面積が4であるものの個数を求める。

1. 問題の内容

7本の直線 $x = k$ ($k = 0, 1, 2, \dots, 6$) と5本の直線 $y = l$ ($l = 0, 1, 2, 3, 4$) が交わってできる長方形（正方形を含む）の総数と、そのうち面積が4であるものの個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、長方形の総数を求める。長方形は、2本の縦線と2本の横線を選ぶことで一意に定まる。

縦線は7本から2本を選ぶので、その選び方は ${}_7 C_2$ 通り。

横線は5本から2本を選ぶので、その選び方は ${}_5 C_2$ 通り。

したがって、長方形の総数は、${}_7 C_2 \times {}_5 C_2$ で求められる。

${}_7 C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

${}_5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、長方形の総数は $21 \times 10 = 210$ 個。

次に、面積が4である長方形の個数を求める。

長方形の面積は (縦の長さ) × (横の長さ) であり、これが4になる必要がある。

縦の長さを $a$, 横の長さを $b$ とすると、$a \times b = 4$ を満たす整数の組み合わせは (1, 4), (4, 1), (2, 2) である。

(1, 4)の場合：

縦の長さが1となる縦線の選び方は6通り (k = 0から5)、横の長さが4となる横線の選び方は1通り (l = 0)。よって、6 x 1 = 6個

縦の長さが4となる縦線の選び方は3通り (k = 0から2)、横の長さが1となる横線の選び方は4通り (l = 0から3)。よって、3 x 4 = 12個

(2, 2)の場合：

縦の長さが2となる縦線の選び方は5通り (k = 0から4)、横の長さが2となる横線の選び方は3通り (l = 0から2)。よって、5 x 3 = 15個

合計すると、6 + 12 + 15 = 33個

3. 最終的な答え

長方形の総数は210個。面積が4であるものは33個。