空間座標に3点A(0, -1, 2), B(-1, 0, 5), C(1, 1, 3)が与えられている。これらの点を含む平面をαとする。原点Oから平面αに下ろした垂線をOHとする。以下の問いに答える。 (1) 三角形ABCの面積を求める。 (2) ベクトルAH = sAB + tACを満たすs, tを求める。 (3) 点Hの座標を求める。 (4) 四面体OABCの体積を求める。

1. 問題の内容

空間座標に3点A(0, -1, 2), B(-1, 0, 5), C(1, 1, 3)が与えられている。これらの点を含む平面をαとする。原点Oから平面αに下ろした垂線をOHとする。以下の問いに答える。

(1) 三角形ABCの面積を求める。

(2) ベクトルAH = sAB + tACを満たすs, tを求める。

(3) 点Hの座標を求める。

(4) 四面体OABCの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積を求める。

まず、ベクトルABとベクトルACを計算する。

$AB = B - A = (-1, 0, 5) - (0, -1, 2) = (-1, 1, 3)$

$AC = C - A = (1, 1, 3) - (0, -1, 2) = (1, 2, 1)$

次に、ベクトルABとベクトルACの外積を計算する。

$AB \times AC = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1) - 3(2) \\ 3(1) - (-1)(1) \\ -1(2) - 1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$

三角形ABCの面積は、外積の大きさの半分である。

$S = \frac{1}{2} |AB \times AC| = \frac{1}{2} \sqrt{(-5)^2 + 4^2 + (-3)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{25 + 16 + 9} = \frac{1}{2} \sqrt{50} = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

(2) s, tを求める。

AH = sAB + tACより、Hは平面ABC上にある。OHは平面ABCに垂直なので、OHとABおよびACは直交する。

$OH = OA + AH = OA + sAB + tAC = (0, -1, 2) + s(-1, 1, 3) + t(1, 2, 1) = (-s+t, -1+s+2t, 2+3s+t)$

$OH \cdot AB = 0$ より、

$(-s+t)(-1) + (-1+s+2t)(1) + (2+3s+t)(3) = 0$

$s - t - 1 + s + 2t + 6 + 9s + 3t = 0$

$11s + 4t + 5 = 0$

$OH \cdot AC = 0$ より、

$(-s+t)(1) + (-1+s+2t)(2) + (2+3s+t)(1) = 0$

$-s + t - 2 + 2s + 4t + 2 + 3s + t = 0$

$4s + 6t = 0$

$2s + 3t = 0$

$s = -\frac{3}{2}t$

$11(-\frac{3}{2}t) + 4t + 5 = 0$

$-\frac{33}{2}t + 4t + 5 = 0$

$-\frac{25}{2}t = -5$

$t = \frac{2}{5}$

$s = -\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5} = -\frac{3}{5}$

(3) 点Hの座標を求める。

$H = (-s+t, -1+s+2t, 2+3s+t) = (\frac{3}{5} + \frac{2}{5}, -1-\frac{3}{5}+\frac{4}{5}, 2-\frac{9}{5}+\frac{2}{5}) = (1, -\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

(4) 四面体OABCの体積を求める。

四面体OABCの体積は、1/6 * |OA.(AB x AC)|で計算できる。

$OA = (0, -1, 2)$

$AB \times AC = (-5, 4, -3)$

$V = \frac{1}{6} |(0, -1, 2) \cdot (-5, 4, -3)| = \frac{1}{6} |0 - 4 - 6| = \frac{1}{6} |-10| = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 三角形ABCの面積: $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

(2) s, tの値: $s = -\frac{3}{5}$, $t = \frac{2}{5}$

(3) 点Hの座標: $(1, -\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

(4) 四面体OABCの体積: $\frac{5}{3}$