与えられた4つの方程式が表す図形が何かを答える問題です。各方程式は、$x$と$y$に関する2次式で、円または点、または存在しない図形を表します。

1. 問題の内容

与えられた4つの方程式が表す図形が何かを答える問題です。各方程式は、$x$と$y$に関する2次式で、円または点、または存在しない図形を表します。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を、円の方程式の標準形である $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ に変形します。ここで、$(a, b)$ は円の中心、$r$ は半径です。

$r^2 > 0$ であれば円、$r^2 = 0$ であれば点、$r^2 < 0$ であれば図形は存在しません。

(1) $x^2 + y^2 - 2y = 0$

$y$ について平方完成します。

$x^2 + (y^2 - 2y) = 0$

$x^2 + (y^2 - 2y + 1) = 1$

$x^2 + (y - 1)^2 = 1$

これは中心 $(0, 1)$、半径 $1$ の円を表します。

(2) $x^2 + y^2 - 4x + 2 = 0$

$x$ について平方完成します。

$(x^2 - 4x) + y^2 = -2$

$(x^2 - 4x + 4) + y^2 = -2 + 4$

$(x - 2)^2 + y^2 = 2$

これは中心 $(2, 0)$、半径 $\sqrt{2}$ の円を表します。

(3) $x^2 + y^2 - x + 5y + 2 = 0$

$x$ と $y$ について平方完成します。

$(x^2 - x) + (y^2 + 5y) = -2$

$(x^2 - x + \frac{1}{4}) + (y^2 + 5y + \frac{25}{4}) = -2 + \frac{1}{4} + \frac{25}{4}$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = -2 + \frac{26}{4} = -2 + \frac{13}{2} = \frac{-4 + 13}{2} = \frac{9}{2}$

これは中心 $(\frac{1}{2}, -\frac{5}{2})$、半径 $\sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ の円を表します。

(4) $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 = 0$

$x$ と $y$ について平方完成します。

$(x^2 - 4x) + (y^2 - 6y) = -13$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = -13 + 4 + 9$

$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 0$

これは点 $(2, 3)$ を表します。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(0, 1)$、半径 $1$ の円

(2) 中心 $(2, 0)$、半径 $\sqrt{2}$ の円

(3) 中心 $(\frac{1}{2}, -\frac{5}{2})$、半径 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ の円

(4) 点 $(2, 3)$