三角形ABCにおいて、AF:FB=3:4, BC:CD=5:3とする。ACとDFの交点をEとするとき、EC:AEを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AF:FB=3:4, BC:CD=5:3とする。ACとDFの交点をEとするとき、EC:AEを求めよ。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を用いる。三角形ADCと直線DFEについて、

$\frac{AF}{FC} \times \frac{CE}{EA} \times \frac{AB}{BD} = 1$

である。

AF:FB = 3:4より、AF:AB = 3:7である。よって、

$\frac{AF}{FC} = \frac{3}{AC}$,

$\frac{AB}{BD} = \frac{AB}{BC+CD} = \frac{AB}{5+3} = \frac{AB}{8}$.

ここで、AF/FCではなく、正しくはCD/BCにする必要があるので、三角形ABCと直線DFEについて、メネラウスの定理を適用する。

$\frac{CD}{DB} \times \frac{BF}{FA} \times \frac{AE}{EC} = 1$

$CD:BC = 3:5$より、$CD:DB = 3:8$. よって、$\frac{CD}{DB} = \frac{3}{8}$

また、$AF:FB = 3:4$より、$\frac{BF}{FA} = \frac{4}{3}$

よって、

$\frac{3}{8} \times \frac{4}{3} \times \frac{AE}{EC} = 1$

$\frac{1}{2} \times \frac{AE}{EC} = 1$

$\frac{AE}{EC} = 2$

よって、$AE:EC = 2:1$より、$EC:AE = 1:2$.

3. 最終的な答え

EC:AE = 1:2