$\triangle OAB$ において、ベクトル $\vec{OP}$ が $\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ で表され、$0 \le s \le 1$ かつ $0 \le t \le 1$ を満たすとき、点 $P$ の存在範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、ベクトル $\vec{OP}$ が $\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ で表され、$0 \le s \le 1$ かつ $0 \le t \le 1$ を満たすとき、点 $P$ の存在範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$s$ を固定して考えます。$s$ をある値 $s_0$ （$0 \le s_0 \le 1$）に固定すると、

$\vec{OP} = s_0\vec{OA} + t\vec{OB}$ ($0 \le t \le 1$)

となります。このとき、点 $P$ は点 $s_0A$ を始点とし、ベクトル $\vec{OB}$ と平行な線分上を動きます。$t$ が $0$ から $1$ まで変化するので、点 $P$ は線分 $s_0A B'$ 上を動きます。ただし、$B'$ は $\vec{OB'} = s_0\vec{OA}+\vec{OB}$ を満たす点です。

次に、$s$ を $0$ から $1$ まで変化させます。

$s = 0$ のとき、$\vec{OP} = t\vec{OB}$ ($0 \le t \le 1$)となり、点 $P$ は線分 $OB$ 上を動きます。

$s = 1$ のとき、$\vec{OP} = \vec{OA} + t\vec{OB}$ ($0 \le t \le 1$)となり、点 $P$ は点 $A$ を始点とし、ベクトル $\vec{OB}$ と平行な線分上を動きます。つまり、点 $P$ は線分 $AC$ 上を動きます。ただし、$C$ は $\vec{OC} = \vec{OA}+\vec{OB}$ を満たす点です。

したがって、点 $P$ の存在範囲は、線分 $OB$, 線分 $AC$, 線分 $OA$, 線分 $BC$ で囲まれた平行四辺形 $OACB$ の内部および周上となります。

3. 最終的な答え

点 $P$ の存在範囲は、平行四辺形 $OACB$ の内部および周上。