点A(2, 1)と直線 $5x + 12y + 4 = 0$ 上を動く点Pがある。線分APの長さの最小値を求めよ。

1. 問題の内容

点A(2, 1)と直線 $5x + 12y + 4 = 0$ 上を動く点Pがある。線分APの長さの最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

点Aから直線 $5x + 12y + 4 = 0$ に下ろした垂線の長さが、線分APの長さの最小値となる。点と直線の距離の公式を用いて、点A(2, 1)と直線 $5x + 12y + 4 = 0$ の距離を求める。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

で与えられる。この公式に、点A(2, 1)と直線 $5x + 12y + 4 = 0$ を代入すると、

$d = \frac{|5(2) + 12(1) + 4|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|10 + 12 + 4|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|26|}{\sqrt{169}} = \frac{26}{13} = 2$

3. 最終的な答え

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