空間座標における3点 $A(0, -1, 2)$、$B(-1, 0, 5)$、$C(1, 1, 3)$ で定まる平面を考える。このとき、三角形ABCの面積を求める。

1. 問題の内容

空間座標における3点 $A(0, -1, 2)$、$B(-1, 0, 5)$、$C(1, 1, 3)$ で定まる平面を考える。このとき、三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

三角形ABCの面積を求めるには、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用い、

$\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ を計算すればよい。

まず、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を計算する。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (-1, 0, 5) - (0, -1, 2) = (-1, 1, 3)$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (1, 1, 3) - (0, -1, 2) = (1, 2, 1)$

次に、$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ を計算する。

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 \\ (-1) \cdot 2 - 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 6 \\ 3 + 1 \\ -2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$

したがって、

$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-5)^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

よって、三角形ABCの面積は、

$\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5\sqrt{2}}{2}$