1. 問題の内容
図において、OA = OB = OCである。∠AOB = 80°のとき、∠xの大きさを求める。
2. 解き方の手順
まず、三角形OABと三角形OBCは二等辺三角形であることがわかる。
三角形OABにおいて、OA = OBであるから、∠OAB = ∠OBAである。
∠AOB = 80°なので、∠OAB + ∠OBA = 180° - 80° = 100°
したがって、∠OAB = ∠OBA = 100°/2 = 50°
三角形OBCにおいて、OB = OCであるから、∠OBC = ∠OCBである。
∠BOC = 360° - (∠AOB + ∠AOC)である。
∠AOCを求める必要がある。しかし、∠AOCの情報がないため、他の方法で∠OCB = xを求めなくてはならない。
三角形OABと三角形OBCにおいて、OA = OB = OCなので、円O上に点A, B, Cが存在する。
したがって、∠ABC = ∠OBA + ∠OBC = 50 + ∠OBCである。
∠AOC = 2∠ABCである。
∠AOC = 360° - 80 - ∠BOCなので、
∠BOC = 360 - 80 -∠AOC = 280 - ∠AOC
∠AOC = 2∠ABC = 2(50 + x) = 100 + 2x
∠BOC = 280 - (100 + 2x) = 180 - 2x
三角形OBCにおいて、∠OBC = ∠OCB = xなので、
∠OBC + ∠OCB + ∠BOC = 180°
x + x + 180 - 2x = 180°
2x + 180 - 2x = 180°
180 = 180°
この式ではxが求まらない。
中心角と円周角の関係を使う。
∠AOB = 80°であるから、円周角の定理より∠ACB = x = ∠AOB / 2 = 80 / 2 = 40
3. 最終的な答え
40°