与えられた円の方程式から、円の中心の座標と半径を求める問題です。具体的には以下の3つの円の方程式について、中心と半径を求めます。 (1) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 10$ (2) $x^2 + y^2 = 12$ (3) $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$

1. 問題の内容

与えられた円の方程式から、円の中心の座標と半径を求める問題です。具体的には以下の3つの円の方程式について、中心と半径を求めます。

(1) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 10$

(2) $x^2 + y^2 = 12$

(3) $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$

2. 解き方の手順

円の方程式の一般形は $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ であり、このとき中心の座標は $(a, b)$ 、半径は $r$ です。

(1) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 10$ の場合

$(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{10})^2$ と変形できます。

したがって、中心の座標は $(-2, 1)$ 、半径は $\sqrt{10}$ です。

(2) $x^2 + y^2 = 12$ の場合

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{12})^2$ と変形できます。

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$なので、半径は $2\sqrt{3}$ です。

したがって、中心の座標は $(0, 0)$ 、半径は $2\sqrt{3}$ です。

(3) $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$ の場合

まず、平方完成を行います。

$x^2 + 2x + y^2 - 8y + 8 = 0$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 8y + 16) + 8 - 1 - 16 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 - 9 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$

$(x - (-1))^2 + (y - 4)^2 = 3^2$

したがって、中心の座標は $(-1, 4)$ 、半径は $3$ です。

3. 最終的な答え

(1) 中心: $(-2, 1)$ 、半径: $\sqrt{10}$

(2) 中心: $(0, 0)$ 、半径: $2\sqrt{3}$

(3) 中心: $(-1, 4)$ 、半径: $3$