一辺の長さが4cmの正五角形ABCDEがある。対角線ACとBDの交点をHとする。 (1) ∠ACB, ∠AHB, ∠ABHの大きさを求めよ。 (2) AHの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが4cmの正五角形ABCDEがある。対角線ACとBDの交点をHとする。

(1) ∠ACB, ∠AHB, ∠ABHの大きさを求めよ。

(2) AHの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ∠ACB, ∠AHB, ∠ABHの大きさを求める。

正五角形の内角の和は $(5-2) \times 180^\circ = 540^\circ$ であるから、一つの内角の大きさは $540^\circ / 5 = 108^\circ$である。

$\triangle ABC$において、$AB=BC$なので、$\triangle ABC$は二等辺三角形である。

したがって、

$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 108^\circ)/2 = 72^\circ / 2 = 36^\circ$

$\angle ACB = 36^\circ$

$\triangle ABH$において、

$\angle BAH = \angle BAC = 36^\circ$

$\angle ABH = \angle ABC - \angle HBC = 108^\circ - \angle HBC$

ここで、$\angle HBC = \angle ACB = 36^\circ$ (平行線の錯角)

$\angle ABH = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$

$\angle AHB = 180^\circ - (\angle BAH + \angle ABH) = 180^\circ - (36^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$

(2) AHの長さを求める。

$\triangle ABH$において、$\angle ABH = \angle AHB = 72^\circ$ であるから、$\triangle ABH$は二等辺三角形である。

したがって、$AH = AB = 4$ cm

3. 最終的な答え

(1)

$\angle ACB = 36^\circ$

$\angle AHB = 72^\circ$

$\angle ABH = 72^\circ$

(2)

$AH = 4$ cm