2つの円 $x^2 + y^2 = 1$ と $(x-a)^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$ ($a>0$) が異なる2点で交わるとき、以下の問いに答えます。 (1) $a$ の値の範囲を求めます。 (2) 第1象限の交点における2つの円の接線が垂直に交わるとき、$a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = 1$ と $(x-a)^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$ ($a>0$) が異なる2点で交わるとき、以下の問いに答えます。

(1) $a$ の値の範囲を求めます。

(2) 第1象限の交点における2つの円の接線が垂直に交わるとき、$a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円が異なる2点で交わる条件は、2円の中心間の距離 $d$ が、2つの円の半径の和と差の間にあることです。

円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は $(0, 0)$ で半径は 1 です。

円 $(x-a)^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$ の中心は $(a, 0)$ で半径は $\frac{a}{2}$ です。

2円の中心間の距離は $d = \sqrt{(a-0)^2 + (0-0)^2} = |a| = a$ ($a>0$ より)。

2つの円が異なる2点で交わる条件は、

$|1 - \frac{a}{2}| < a < 1 + \frac{a}{2}$

$1 - \frac{a}{2} < a$ かつ $a < 1 + \frac{a}{2}$

$1 < \frac{3a}{2}$ かつ $\frac{a}{2} < 1$

$\frac{2}{3} < a$ かつ $a < 2$

したがって、$\frac{2}{3} < a < 2$ となります。

(2) 第1象限の交点における2つの円の接線が垂直に交わる条件は、2つの円が直交することと同値です。

2つの円が直交する条件は、$r_1^2 + r_2^2 = d^2$ が成り立つことです。ここで、$r_1$ と $r_2$ はそれぞれの円の半径、$d$ は中心間の距離です。

この問題の場合、$r_1 = 1$, $r_2 = \frac{a}{2}$, $d = a$ です。

したがって、$1^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

$1 + \frac{a^2}{4} = a^2$

$1 = \frac{3a^2}{4}$

$a^2 = \frac{4}{3}$

$a = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$a > 0$ より、$a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$。

$\frac{2}{3} < a < 2$ を満たすか確認します。

$\frac{2}{3} \approx 0.667$, $\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.155$, $2$

したがって、$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ は $\frac{2}{3} < a < 2$ を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3} < a < 2$

(2) $a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$